متباينات بوانكاريه للقياسات شبه المضاعفة في الفضاءات المترية ذات الحدود الكسرية

الملخص

تبحث هذه الورقة في صحة متباينات بوانكاريه في فضاءات القياس المترية التي لا تحقق شرط المضاعفة الكلاسيكي. نقوم بإنشاء فضاء مترية محدد XXX عن طريق أخذ القرص الوحدوي المفتوح في R2\mathbb{R}^2R2 واستبدال حدوده بمنحنى كوش، وهو شكل كسوري معروف. نعرف قياسًا μ\muμ على XXX يجمع بين قياس ليبغ 2D على الداخل وقياس هاوسدورف ذو البُعد sss (حيث s=log⁡(4)/log⁡(3)s = \log(4)/\log(3)s=log(4)/log(3)) على الحد الكسوري.

أولاً، نوضح أن هذا القياس μ\muμ ليس قياسًا مضاعفًا بسبب عدم التوافق البُعدي عند الواجهة بين القرص وحدوده. توضح النتيجة الرئيسية لدينا أن μ\muμ هو، مع ذلك، قياس شبه مضاعف. بناءً على ذلك، نثبت أن الفضاء (X,d,μ)(X, d, \mu)(X,d,μ)، حيث ddd هو المقياس الإقليدي، يدعم متباينة بوانكاريه (1,p)(1,p)(1,p) لكل p≥1p \ge 1p≥1.

تقدم هذه النتيجة مثالًا ملموسًا على فضاء غير مضاعف حيث تتحقق متباينة بوانكاريه، مما يوسع نطاق تطبيق أدوات التحليل الهندسي لتشمل فئات أوسع من الفضاءات غير المنتظمة وغير المتجانسة. علاوة على ذلك، نظهر كيفية تطبيق هذه النتائج لتحليل الانتظام وتقديرات الطاقة لحلول المعادلات التفاضلية الجزئية الكلاسيكية — مثل معادلة لابلاس — عند تعريفها على مثل هذه المجالات. يوسع عملنا النظرية المعروفة لتشمل إعدادات جديدة لم يتم تغطيتها سابقًا في الأدبيات العلمية.